8. 応用・発展
8.3 多変量時系列解析
多変量時系列解析は、時間とともに変化する複数の測定量（例：振動の各軸成分、温度、電流、圧力、回転数など）を同時に扱い、互いの関係も含めて変化の仕組みを捉える考え方である。単一の指標だけでは見えない「同時に起こる変化」「先行して変わる信号」「長期的に一緒に動く関係」まで分析できるため、故障予知では早期検知と原因推定の両面で重要な基盤になる。解析の出発点は、- 同時変動のモデリング（ベクトル自己回帰：VAR）、- 長期関係の検定と誤差修正（コインテグレーションとVECM）、- 先行・後行関係の検定（グレンジャー因果）、- 隠れた状態を推定する枠組み（状態空間モデルとカルマンフィルタ）といった標準手法の役割を理解し、データの性質に合わせて組み合わせることにある。[1][2][3]
まず、共通の基礎として「系列の安定性」と「モデリングの入口」を整理する。各系列が時間とともに平均や分散が一定に保たれる定常性を満たすか（単位根の有無）を確認し、定常であれば水平方向（レベル）のまま、多くの系列が単位根（I(1)）であれば差分や誤差修正を含む枠組みを選ぶのが定石である。複数系列が同じ階差の階級I(1)で、長期的に一定の線形関係を保つとき、コインテグレーションが成り立ち、その場合は長期関係と短期調整を同時に含むベクトル誤差修正モデル（VECM）が適する。[4][5][2]
同時変動の標準モデルがベクトル自己回帰（VAR）である。VARは複数の系列ベクトルYtの現在値を、過去のYt−1, Yt−2,…の線形結合で説明する多変量の自己回帰で、系列間の相互遅れ効果（どれがどれに遅れて効くか）を均等に扱えるのが特徴である。系列が定常ならレベルのままVAR(p)を推定し、ラグ次数pは情報量基準（AIC/SCなど）で選ぶのが一般的である。一方、すべてがI(1)で長期関係がないなら差分にVARを適用し、長期関係があるなら後述のVECMを使う。[5][2][4][1]
長期関係（コインテグレーション）の検定とVECMは、多変量解析の柱である。二変量なら、まず両方がI(1)かを確認し、長期回帰の残差が定常か（残差に単位根がないか）を調べるEngle–Granger手順が入口になる。多変量ではJohansen検定を用いて、独立なコインテグレーション関係の本数（ランク）を推定する。コインテグレーションが認められたら、短期の差分ダイナミクスに前期の誤差（長期均衡からのズレ）を入れたVECMを推定し、誤差修正項の係数（調整速度）で「長期均衡に戻る力」と系列間の短期作用を同時に把握する。実務的には、回転数・負荷・温度などがゆっくり共通トレンドを持つ状況で、特定のセンサだけが乖離し始める兆候を誤差修正項で敏感に捉えやすい。[4][1][5]
どれが先に変わり、どれが後から追うかを検定するのがグレンジャー因果である。グレンジャー因果は、ある系列Xの過去が他の系列Yの予測精度を統計的に有意に高めるかを検定し、「XがYをグレンジャー原因する」かを判定する枠組みで、予兆指標の探索に有効である。定常性の前提や、I(1)の場合の差分・VECMでの実施など注意点はあるが、複数センサ間の先行関係を定量化し、監視の優先度付けや制御系の理解に役立つ。[6][5][4]
隠れた状態やノイズを明示的に扱いたいときは、状態空間モデルとカルマンフィルタが適する。状態空間モデルは、観測（センサ群）と、目に見えない内部状態（真の劣化度や基準トレンドなど）を、線形ダイナミクスと観測方程式で結ぶ一般枠組みで、カルマンフィルタにより逐次的に最適推定（線形ガウス下）と予測ができる。観測の欠測・多変量・外生入力を含めた構成が整備されており、センサ融合や滑らかなトレンド推定、ノイズ分離、先読み予測に強みがある。実務では、加速度・マイク・電流など異種センサの共通トレンド（負荷・状態）を状態として持ち、観測ノイズを明確に扱いながら劣化の滑らかな指標を推定・外挿する設計が有効である。[7][3][8]
特徴抽出・次元圧縮の位置づけも重要だ。多変量では次元が増えやすく、相関構造を低次元に要約する主成分分析（PCA）や、その拡張を異常検知に使う発想が広く用いられている。PCAは「正常のサブスペース」を学び、そこからの外れ具合を異常度とすることで、複数変数の関係が崩れた異常（単変量では目立たない関係の乱れ）を検出できる。ただし、標準PCAは時間相関を明示しないため、時間構造も捉える手法（時系列に適した疎符号化や混合確率PCA、自己回帰モデルの併用など）を加えると精度が向上しやすいことが報告されている。[9][10]
ここまでの理論を故障予知に落とす実務フローをまとめる。第一に前処理と安定性の確認：各系列の単位根検定で定常性を調べ、I(0)ならVAR、I(1)なら差分VARかVECMの可能性を検討する（多変量の長期関係はJohansen検定）。第二にモデル化：- 定常ならVARで系列間ラグ構造を推定し、インパルス応答分析で衝撃の伝播を解釈、- コインテグレーションがあればVECMで長期均衡と短期調整を同時に推定、- 先行関係はグレンジャー因果で検定する。第三に状態空間化：センサ融合やノイズ分離が必要なら、状態空間モデルで共通トレンドや潜在状態をカルマンフィルタで逐次推定・予測する。第四に異常検知：正常期間で学習したVAR/VECMの予測誤差、状態推定の残差、PCAの再構成誤差などを異常度として用い、PR曲線などでしきい値を設計する。第五に評価と運用：時系列の時間順分割でリークを避け、条件別（負荷・回転数）に基準を持ち、ドリフトに合わせて再同定・再学習を行う。[2][3][10][8][1][5][9][7][6][4]
いくつかの注意点を先回りで挙げる。- ラグ選択と過適合：VARの次数はAIC/SCで選びつつ、過大な次数で誤検知が増えないかを検証する。- I(1)の取扱い：I(1)をレベルVARに入れると偽回帰の危険があるため、差分かVECMで扱う（Johansenでランク確認）。- 因果の解釈：グレンジャー因果は予測上の先行関係であり、必ずしも物理因果ではない点に注意する。- ノイズ比率とカルマン設定：プロセス雑音Q、観測雑音Rの設定は推定の挙動を左右するため、尤度最大化や検証データでの予測誤差で妥当域を探る。- 次元の呪い：変数が多いほどパラメータが急増するため、PCAなどで次元圧縮した要素をVARに入れる、サブスペース学習で正常空間を定義するなどの工夫が現実的である。[3][10][8][1][5][9][2][7][6]
実装イメージを例示する。- 回転機の多センサ監視：回転数・トルク・電流・振動（XYZ）・温度を同時収録し、Johansen検定で長期関係を確認後、VECMで短期調整と長期均衡からの乖離を監視する。乖離の拡大や調整速度の低下を予兆とし、グレンジャー因果で先行する信号（例えば高周波振動→電流側帯域）を特定して監視の優先度を定める。- センサ融合の平滑化：状態空間モデルで共通トレンド（負荷）と劣化状態を潜在変数としてモデル化し、カルマンフィルタで滑らかに推定・予測、観測残差の拡大を異常度に使う。- 関係破綻型の異常：PCAで正常サブスペースを学び、再構成誤差で「関係が崩れた異常」を検出、時間相関も見たい場合は、疎符号化など時間パターン学習を併用する。[10][8][5][9][7][6][3][4]
最後に、運用の勘所を短くまとめる。- まずは「定常かI(1)か」を確認し、VAR・差分VAR・VECMの分岐を誤らない。- 長期関係があるならVECM、ないなら差分VARが基本、先行関係はグレンジャー因果で補う。- センサ融合・欠測・ノイズ分離が課題なら、状態空間＋カルマンを選ぶ。- 次元が多いときは、PCAなどで要約し、再構成誤差や予測誤差を異常度として設計する。- 評価は時系列の時間順分割で、PR曲線・F1を重視し、しきい値は再現率要求に合わせて決める。これらの原則は多変量時系列の標準的な教科書的整理と一致しており、故障予知の現場で「関係」「先行」「長期」の三層を見失わずに、早期・確実な検知と説明性の高い診断に結びつける道筋となる。[8][1][5][9][2][7][6][3][10][4] [1] https://www.princeton.edu/~mwatson/papers/watson_hoe_1994.pdf
[2] https://faculty.washington.edu/ezivot/econ584/notes/varModels.pdf [3] https://ocw.mit.edu/courses/14-384-time-series-analysis-fall-2013/3dcb917d20ece78852cd398a3f7b5e64_MIT14_384F13_lec21.pdf [4] http://web.vu.lt/mif/a.buteikis/wp-content/uploads/2018/04/Lecture_07.pdf [5] https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1711613/FULLTEXT01.pdf [6] https://www.aptech.com/blog/introduction-to-granger-causality/ [7] https://cran.r-project.org/web/packages/kalmanfilter/vignettes/kalmanfilter_vignette.html [8] https://www.statsmodels.org/stable/statespace.html [9] https://ntake.jp/paper/smc2014_takeishi_paper.pdf [10] https://www.kaggle.com/code/vijeetnigam26/anomaly-detection-in-multivariate-time-series [11] https://nscpolteksby.ac.id/ebook/files/Ebook/Accounting/Financial%20Econometrics%20with%20EViews%20(2010)/7.%20Chapter%206%20-%20Multivariate%20Time%20Series%20Analysis.pdf [12] https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:638279/FULLTEXT02 [13] https://www.numberanalytics.com/blog/kalman-filter-time-series-analysis [14] https://arxiv.org/abs/2308.03171 [15] https://digilib.uhk.cz/bitstream/handle/20.500.12603/102/FRON%C4%8CKOV%C3%81,%20PRA%C5%BD%C3%81K.pdf?sequence=1&isAllowed=y [16] https://link.springer.com/article/10.1007/s44443-025-00024-3 [17] https://arxiv.org/html/2409.02552v1 [18] https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2949891024001489 [19] https://lbelzile.github.io/timeseRies/state-space-models-and-the-kalman-filter.html※本ページは、AIの活用や研究に関連する原理・機器・デバイスについて学ぶために、個人的に整理・記述しているものです。内容には誤りや見落としが含まれている可能性もありますので、もしお気づきの点やご助言等ございましたら、ご連絡いただけますと幸いです。
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